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인프런 - 부경대IT융합응용공학과 궘오흠 교수님의 '영리한 프로그래밍을 위한 알고리즘 강좌 '(링크)와 '쉽게 배우는 알고리즘 관계 중심의 사고법 - 문병로' 참조

6-1. Hashing 01 - 개요

Hash Table

  • 탐색과 삽입, 삭제를 지원하는 자료구조를 dynamic set이라고 부른다.

  • 4장에서는 검색트리를 가지고 dynamic set을 구현했고, 또다른 한가지 구현 방법이 Hashing을 이용하는 것이다.

  • 해시 테이블은 dynamic set을 구현하는 효과적인 방법의 하나이다.

    • "적절한 가정"하에서 평균 탐색, 삽입, 삭제시간 O(1)

    • 보통 최악의 경우 O(n)

  • 해시 함수(hash function) h를 사용하여 키 k를 T[h(k)]에 저장

    • h : U -> {0, 1, 2, … , m-1}

      • 여기서 m은 테이블의 크기, U는 모든 가능한 키들의 집합

    • 키 k가 h(k)로 해싱되었다고 말한다.

    • 즉, h() 해시 함수는 각 키에 대한 해시함수값을 그 키를 저장할 배열 인덱스로 사용한다.

해시 함수의 예

  • 모든 키들을 자연수라고 가정(어떤 데이터든지 자연수로 해석하는 것이 가능하다)

  • 예: 문자열

    • ASCII 코드 : C=67, L=76, R=82, S=83

    • 128진수로 표현하는 문자열 CLRS는(임의의 문자열을 자연수로 해석하기 위해)

    • (67*128^3) + (76*128^2) + (82*128^1) + (83*128^0) = 141,764,947

  • 해시 함수의 간단한 예

    • h(k) = k % m

      • 즉, key를 하나의 자연수로 해석한 후 테이블의 크기 m으로 나눈 나머지를 데이터가 저장될 주소로 사용 한다.

      • 항상 0 ~ m-1 사이의 정수가 됨

충돌(collision)

  • 두 개 이상의 키가 동일한 위치로 해싱되는 경우

  • 즉, 서로 다른 두 키 k1과 k2에 대해서 h(k1) = h(k2)인 상황

  • 일반적으로|U| >> m 이므로 항상 발생 가능 (즉, 일반적으로 해시함수는 단사함수가 아님)

  • 만약 |K| > m 이라면 당연히 발생, 여기서 K는 실제로 저장된 키들의 집합

    • 임의의 정수를 저장하기 위한 배열의 크기를 무한정 키울수는 없다.

  • 충돌이 발생할 경우 대처 방법이 필요하다

  • 대표적인 두 가지 충돌 해결방법

    • chainging

    • open addressing

Chaining에 의한 충돌 해결

  • 동일한 장소로 해싱된 모든 키들을 하나의 연결리스트(Linked List)로 저장

  • 키의 삽입(Insertion)

    • 키 k를 리스트 T[h(k)]의 맨 앞에 삽입 : 시간복잡도는 O(1)

    • 중복된 키가 들어올 수 있고 중복 저장이 허용되지 않는다면 삽입시 리스트를 검색해야 한다. 따라서 이런경우 삽입의 시간복잡도는 리스트의 길이에 비례한다.

  • 키의 검색(Search)

    • 리스트 T[h(k)]에서 순차검색

    • 시간복잡도는 키가 저장된 리스트의 길이에 비례한다.

  • 키의 삭제(Deletion)

    • 리스트 T[h(k)]로 부터 키를 검색 후 삭제

    • 일단 키를 검색해서 찾은 후에는 O(1)시간에 삭제가 가능하다.

  • 최악의 경우는 모든 키가 하느의 슬롯으로 해싱되는 경우이다.

    • 길이가 n인 하나의 연결리스트가 만들어지고

    • 따라서 최악의 경우 탐색시간은 O(n) + 해시함수 계산시간이 된다.

  • 평균 시간복잡도는 키들이 여러 슬롯에 얼마나 잘 분배되느냐에 의해서 결정 된다.

SUHA (Simple Uniform Hashing Assumption)

  • 각각의 키가 모든 슬롯들에 균등한 확률로(eually likely) 독립적으로(independently) 해싱된다는 가정

    • 성능분석을 위해서 주로 하는 가정

    • hash함수는 deterministic(결정적 함수이므로)하므로 현실에서는 불가능하다.

      • 특정한 키 값의 해시함수 값은 정해져 있다.

  • 위의 가정이 성립한다면(키가 해시테이블에 저장될 확률이 동일 하다면) Load factor를 정의할 수 있다.

  • Load factor a = n/m

    • n : 테이블에 저정될 키의 개수

    • m : 해시테이블의 크기, 즉 연결리스트의 개수

    • 각 슬롯에 저장된 키의 평균 개수

  • 연결리스트 T[j]의 길이를 n-j이라고 하면 E[n-j] = a

  • 만약 n=O(m)이면 평균검색시간은 O(1)

    • 강의 맨 처음에 "적절한 가정"하에 평균 탐색, 삽입, 삭제시간 O(1)이라는 이야기를 했었는데, '적절한 가정'이 성능분석을 위해 주로 하는 현실에서는 불가능한 가정이므로 가설이라고 이야기 할 수 있다.

Open Addressing에 의한 충돌 해결

  • 모든 키를 해시 테이블 자체에 저장

  • 테이블의 각 칸(slot)에는 1개의 키만 저장

  • 충돌 해결 기법

    • Linear probing

    • Quadratic probing

    • Double hashing

Linear Probing

  • h(k), h(k) + 1, h(k) + 2, … 순서로 검사하여 처음으로 빈 슬롯에 저장 테이블의 끝에 도달하면 다시 처음으로 circular하게 돌아감

  • search하는 경우에는 순차적으로 찾을때 까지 검색하다가 빈 슬롯이 나오면 종료

다른 방법들

  • Linear probing의 단점

    • primary cluster : 키에 의해서 채워진 연속된 슬롯들을 의미

    • 이런 cluster가 생성되면 이 cluster는 점점 더 커지는 경향이 생김

    • 검색시간이 클러스터의 길이에 비례하게 되므로 바람직하지 않다.

  • Quadratic probing

    • 충돌 발생시 h(k), h(k) + 1^2, h(k) + 2^2, h(k) + 3^2, … 순서로 시도

  • Double hashing

    • 서로 다른 두 해시 함수 h1과 h2를 이용하여

    • h(k, i) = (h1(k) + i*h2(k)) mod m

Quadratic Probing

  • 충돌 발생시 h(k), h(k) + 1^2, h(k) + 2^2, h(k) + 3^2, … 순서로 시도

Double Hashing

  • 서로 다른 두 해시 함수 h1과 h2를 이용한다.

  • 키 값에 따라서 해시 값이 달라진다.

Open Addressing - 키의 삭제

  • 단순히 키를 삭제할 경우 문제가 발생한다.

    • 가령 A2, B2, C2기 순서대로 모두 동일한 해시함수값을 가져서 linear probing으로 충돌을 해결했을 때,

    • B2를 삭제한 후 C2를 검색하는 경우가 이에 해당한다.

    • Linear Probing을 했을 경우 빈 슬롯에 도달하면 검색이 종료되기 때문에 검색에 문제가 생기게 된다.

    • 이 문제를 해결하기 위해서 삭제된 슬롯에 예를 들면 DEL이라는 표시를 해둘 수도 있지만,

    • Dynamic Set을 구현한 해시 테이블의 특성상 삽입, 삭제가 빈번하게 일어나므로 결국 거의 모든 슬롯이 DEL표시로 채워질 수 있다.

    • 또한, 곳곳에 DEL 표시가 되어있으면 결국 배열과 같이 모든 슬롯을 검색하게 되므로 Hashing의 장점을 잃게 된다.

  • 가장 적절한 해결책은 삭제될 슬롯에 있는 값과 같은 해시값을 가지는 클러스터의 마지막 슬롯을 삭제될 슬롯으로 가져와서 클러스터의 손상을 막는 방법이다.

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